0x00 前言
邏輯回歸（Logistic Regression，LR）。在Kaggle競賽的統(tǒng)計中，LR算法以63.5%的出產(chǎn)率，榮獲各領(lǐng)域中“出場率最高的算法”這一殊榮。在實際場景中，邏輯回歸同樣應(yīng)用廣泛，大到國家各項經(jīng)濟(jì)政策的制定，小到計算廣告CTR，都能看到LR算的身影。
除了應(yīng)用廣泛外，LR的建模過程還體現(xiàn)了數(shù)據(jù)建模中很重要的思想： 對問題劃分層次，并利用非線性變換和線性模型的組合，將未知的復(fù)雜問題分解為已知的簡單問題 。因此，我們可以說：理解好邏輯回歸的細(xì)節(jié)，就掌握了數(shù)據(jù)建模的精髓。
0x01 什么是邏輯回歸
1.1 線性回歸能解決分類問題么？
其實，線性回歸是不能解決分類問題的。因為我們在使用線性回歸模型時，我們實際上做了3個假設(shè)（實際上有更多的假設(shè)，這里只討論最基本的三個）：
- 因變量和自變量之間呈線性相關(guān)。
- 自變量與干擾項相互獨(dú)立。
- 沒被線性模型捕捉到的隨機(jī)因素服從正態(tài)分布。
從理論上來說，任何數(shù)據(jù)放在任何模型里都會得到相應(yīng)的參數(shù)估計，進(jìn)而通過模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。但是這并不一定能保證模型效果，有時會得到“錯且無用”的模型，因此建模的過程中需要不斷提出假設(shè)和檢驗假設(shè)。
1.2 用邏輯回歸解決分類問題
有些算法，表面上叫“XX回歸”，背地里卻是解決分類問題的。
其原理是將 樣本的特征 和 樣本發(fā)生的概率 聯(lián)系起來，即， 預(yù)測的是樣本發(fā)生的概率是多少。由于概率是一個數(shù)，因此被叫做“邏輯回歸”。
在線性回歸算法的例子中，我們進(jìn)行房價預(yù)測得到的結(jié)果值，就是我們預(yù)測的房價，是一個數(shù)值。
但是我們在邏輯回歸算法中，得到的預(yù)測值是一個概率，然后在概率的基礎(chǔ)上多做一步操作，得到分類的結(jié)果。比如某銀行使用邏輯回歸做風(fēng)控模型，先設(shè)置一個閾值0.5，如果得到它逾期的概率大于0.5，就不放款；否則就放款。對于“放款” or “不放款”來說，實際上是一個標(biāo)準(zhǔn)的分類問題。
通過這個小例子我們可以看到， 在回歸問題上再多做一步，就可以作為分類算法來使用了。邏輯回歸只能解決二分類問題，如果是多分類問題，LR本身是不支持的。
對于線性回歸來說，通過傳遞的自變量x來計算預(yù)測值：。其中實際上就是參數(shù)與樣本的矩陣相乘，。那我們可不可以找到一組參數(shù)，與特征矩陣相乘，直接得到表示概率的結(jié)果呢？
單單從應(yīng)用的角度來說，是可以的，但是并不好。這是因為 線性回歸得到值是沒有限制的，值域從負(fù)無窮到正無窮的值。而對于概率來說，其值域為[0,1]，是有限制的。如果直接使用線性回歸得到的結(jié)果，使得最終擬合的結(jié)果可信程度較差。
那么下面我們就看一看，邏輯回歸背后的數(shù)學(xué)原理。
0x02 LR算法數(shù)學(xué)推導(dǎo)
2.1 決策背后的博弈
邏輯回歸使用什么樣的方式來得到一個事件發(fā)生的概率值的呢？分類的背后又是什么呢？
以銀行理財產(chǎn)品營銷場景為例，對于銀行來說，客戶只有“買”和“不買”兩種行為，但是這個行為實際上是客戶在接到營銷行為，如電話營銷、短信營銷之后，經(jīng)過內(nèi)心博弈產(chǎn)生的最終結(jié)果。
客戶為什么會做出“買”或“不買”這樣的被分類的行為？如果客戶手里有一筆暫時不會動用的閑錢，且他希望能夠通過投資行為獲利，并且對盈利效果表示認(rèn)可，則客戶會考慮購買理財產(chǎn)品。但是反過來，如果客戶沒有錢，或者他有其他更好的投資渠道，或者厭惡投資風(fēng)險，那么客戶就不會購買。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度來說，購買理財產(chǎn)品這一行為，既能給客戶帶來正效用，也能給客戶帶來負(fù)效用。 當(dāng)客戶主觀認(rèn)為正效用大于負(fù)效用時，可就是購買行為帶來的整體效用大于0時，客戶就會購買，反之則不然 。
2.2 博弈中的隱含變量
那么我們從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，分析上述場景：假設(shè)有自變量集合，這些參數(shù)表示這種特征，決定購買行為對客戶的效用，包括正效用和負(fù)效用。我們將客戶的購買行為記為y，其中y=1表示客戶購買理財產(chǎn)品；y=0表示客戶沒有購買。于是可以得到下面的公式：
如果，我們 假設(shè)正負(fù)效用函數(shù)與自變量特征參數(shù)成線性相關(guān) ，則根據(jù)可以得出：。其中是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從正態(tài)分布。
在得到正負(fù)效用線性函數(shù)之后，就可以 用正效用減去負(fù)效用的解是否大于0作為分類依據(jù) 。令，則可以得到：。如果我們將其轉(zhuǎn)換為分類問題，則可以得到階梯函數(shù)如下：
更進(jìn)一步，我們將上面的函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟾怕剩纯蛻糍徺I理財產(chǎn)品的概率如下：
其中， 是隨機(jī)變量的累積分布函數(shù) ，表示客戶購買的比例。
這個模型在學(xué)術(shù)上被稱作是 probit回歸 （雖然是名字中有“回歸”兩個字，但是實際上解決的還是分類問題）。
在模型搭建的過程中，我們假設(shè)了客戶內(nèi)心博弈的正負(fù)效用變量：，因此這類隱藏變量模型（latent variable model）;而正負(fù)效用變量：被稱為隱藏變量（latent variable）。
由此可見， 對于一個分類問題，由于“窗口效用”，我們只能看見客戶的購買行為，但是在分類的背后，是隱藏變量之間的博弈，我們通過搭建隱藏變量的模型，來求出客戶購買的概率 。
2.3 sigmoid函數(shù)與邏輯回歸
在上一節(jié)我們得到了probit回歸在數(shù)學(xué)上是比較完美的，但是正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，其表達(dá)形式很復(fù)雜（復(fù)雜到懶得把公式寫出來），且沒有解析表達(dá)式。因此直接在probit回歸上做參數(shù)估計是比較困難的。但是好在我們可以對其做近似，讓其在數(shù)學(xué)上更加簡潔。
此時，神奇的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：正態(tài)分布在線性變換下保持穩(wěn)定，而邏輯分布可以很好地近似正態(tài)分布。因此可以使用標(biāo)準(zhǔn)邏輯分布的累積分布函數(shù)來替換正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)邏輯分布的概率密度函數(shù)為，對應(yīng)的積累分布函數(shù)為：
在學(xué)術(shù)界被稱為sigmoid函數(shù)，是在數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域，特別是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域中非常重要的函數(shù)！。其圖像如下圖所示，呈S狀，因此也被稱為“S函數(shù)”。當(dāng)t趨近于正無窮時，趨近于0，則趨近于1；當(dāng)t趨近于負(fù)無窮時，趨近于正無窮，則趨近于0。因此該函數(shù)的值域為(0,1)。
兩種不同的效用函數(shù)（假定他們都滿足線性回歸模型的假設(shè)）相互競爭時，其中某一方最終勝出的概率分布在數(shù)學(xué)上可近似為sigmoid函數(shù)。通俗講：sigmoid函數(shù)表述了某一方競爭勝出的概率。
將效用函數(shù)之差（同樣是線性回歸模型）帶入sigmoid函數(shù)中，當(dāng)t>0時，得到的結(jié)果是概率值p>0.5;當(dāng)t<0時，得到的結(jié)果是p<0.5。因此，實際上我們得到是這樣的公式：
至此，大名鼎鼎的邏輯回歸模型（logit regression）如下,其中表示客戶特征，表示模型參數(shù)：
0xFF 總結(jié)
在本篇文章中，我們學(xué)習(xí)了邏輯回歸的算法模型。
首先，邏輯回歸是解決分類問題的，本質(zhì)是求概率再分類。在分類結(jié)果的背后是隱藏變量的博弈，我們認(rèn)為隱藏變量與特征是線性相關(guān)的，因此就可以對隱藏變量之差求概率（得到隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)），得到probit回歸模型。為了使數(shù)學(xué)公式更為簡單，使用sigmoid函數(shù)去近似，最終得到邏輯回歸模型：
根據(jù)建模過程，我們已經(jīng)得到了邏輯回歸模型，下一步就是找到損失函數(shù)，去盡可能地擬合數(shù)據(jù)。
那么對于給定的樣本數(shù)據(jù)集X，y，我們?nèi)绾握业揭唤M參數(shù)，使得用這樣的方式，可以最大程度獲得樣本數(shù)據(jù)集X對應(yīng)的分類輸出y？
