常見的排序算法：

• 快速排序、堆排序、歸并排序、選擇排序
• 插入排序、二分插入排序
• 冒泡排序、雞尾酒排序
• 桶排序、計數排序、基數排序、位圖排序

一、快速排序

通過一趟排序將待排記錄分割成獨立的A、B兩部分，A部分全部小于基準值，B部分全部大于基準值。然后在對兩部分做相同的處理，已完成排序的功能。

算法描述與分析

1. 從數列中挑選一個元素，作為基準值， pivot;
2. 便利排序數列，比基準值小的放在左邊A，大的放在右邊B（相同的放在任意一邊）。待分組完成后基準值就處于A、B的中間位置。 這個過程稱為分區(partition)操作，兩種實現方式具體實現見代碼
3. 遞歸排序A、B兩部分，重復上面1 2兩步，進行排序。

 

復雜度

時間復雜度:

A. o(nlogn)* : 將數組分解為一些列小問題進行獨立解決，上述的過程重復logn次得到有序的序列； 每次都需要對n個進行一次處理，所以時間復雜度為 n*logn

B. o(n^2）: 固定選擇第一個元素做基準值，對倒序數組進行正序排列；每次劃分只得到一個比上一次劃分少一個記錄的子序列，每次只排一個。相當于向后冒泡排序，所以時間復雜度為o(n^2)

空間復雜度：

額外使用的空間需要看具體的代碼實現，理論上最優情況下空間復雜度為o(1)，只是用一個交換空間； 如果考慮遞歸的實現邏輯則復雜度為 o(logn) 。

代碼實現

教科書式實現：

//普通方法實現
function quick_sort( &$arr, $left, $right ){
 if( $left < $right){
 //取基準值，取最左邊的一個元素
 $pivot = $arr[$left];
 //隨機取基準值 - 避免對倒序數組進行正序排序時，時間復雜度 O(n^2)的情況
 // $k = rand($left, $right);
 // swap($arr, $left, $k);
 // $pivot = $arr[$left];
 $i = $left; $j = $right;
 //一趟排序比較
 while($i < $j){
 //基準值從左邊選取的，所以先從右側開始比較；反之亦然。(注)
 while( $arr[$j] >= $pivot && $j > $i){
 $j--;
 }
 swap($arr, $i, $j);
 while( $arr[$i] < $pivot && $i < $j ){
 $i++;
 }
 swap($arr, $i, $j);
 }
 quick_sort($arr, $left, $i-1); //對左邊內容進行排序
 quick_sort($arr, $i+1, $right); //右邊內容進行排序
 }
}
$arr = [49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50];
quick_sort($arr, 0, count($arr)-1 );
echo implode(',', $arr);

劍指offer的實現：

//分區方法. 這個思想很重要，可以在多個問題中使用。如：取前幾名、字符串大小寫字母分組等
function partition(&$arr, $left, $right){
 //隨機、取最后一個為基準值，方便從頭開始遍歷
 $k = rand($left, $right);
 swap($arr, $k, $right);
 $pivot = $arr[$right]; 
 // 取兩個指針A B，從{$left}開始走，B在遇到小于基準值是前走； 
 // 當A遇到小于基準值時和B處交換值；然后B指針前移一位。 
 // 完成一遍遍歷，B指針的位置就是分割位。在把基準值替換到B+1即可
 $b = $left-1;
 for($a=$left; $a<=$right; $a++){
 if( $arr[$a] < $pivot){
 $b++;
 if( $a != $b){
 swap($arr, $a, $b);
 }
 }
 }
 $b++; //指針后移一位，然后替換基準值，保證前面的都小、后面的都大
 swap($arr, $b, $right);
 return $b;
}
//交換元素。除了這種方式還可以使用：
// a=a+b; b=a-b ; a=a-b，加法來實現，不申請額外空間
// a=a^b; b = a^b; a = b^a，異或來實現
function swap(&$arr, $i, $j){
 $t = $arr[$i];
 $arr[$i] = $arr[$j];
 $arr[$j] = $t;
}
//排序
function quick_sort( &$arr, $left, $right ){
 if( $left < $right){
 $index = partition($arr, $left, $right);
 quick_sort($arr, $left, $index-1);
 quick_sort($arr, $index+1, $right);
 }
}
$arr = [49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50];
quick_sort($arr, 0, count($arr)-1 );
echo implode(',', $arr);

運行耗時出現兩種情況：

A: 13,27,38,49,50,65,76,97[Finished in 0.2s]
B: 13,27,38,49,50,65,76,97[Finished in 0.1s]
原因：排序使用了隨機基準值的方法，所以分區比較、分區大小都是隨機的。所以遞歸次數會有不同，耗時自然也就不同。

二、堆排序

利用堆這種數據結構，堆積生成一個近似完全的二叉樹，并且滿足堆積性質：即子節點的建值總是小于(或大于)它的父節點。 二叉樹使用數組來實現，從頭到尾對應堆的從上到下。

示例

最大堆（父節點大于任何一個子節點），則根節點時最大值。將根節點取出來，剩下的進行堆調整生成最大堆；重復上述步驟，直到堆無節點時完成排序。

海量數據TopK問題

用堆排序來解決海量數據TopK 問題會非常好。構建K個節點的最小堆；遍歷數據，當數據大于最小根節點時替換根節點，進行堆調整，生成最小堆；遍歷結束時，堆會保存其中最大的K個元素； 在進行堆排序，生成K個元素從大到小的排列。

算法描述與分析：

我們這里先介紹幾個問題，一步步推到堆排序。

什么是堆

定義上面已有說明，示例如下：

 

使用數組存儲：$arr = [1, 2, 3, 17, 19, 36, 7, 15, 170]

堆調整

為了保證堆的特性而做的一個操作。將該根節點就行下沉操作，一直沉到合適的位置，使得剛才的子樹滿足堆的性質。

例如對最大堆進行堆調整：

1.對應的數組元素A[i], 左孩子 left(2i+1), 右孩子right(2i+2), 中找最大的那一個，將其下標存入largest中；

2.如果A[i] 是最大的元素，則程序直接結束；

3.否則，i的某個子節點為最大元素，將A[i] 與 A[largest] 交換；

4.在從交換的子子節點開始，重復1,2,3步，直到葉子節點，完成一次堆調整。

建堆

建堆就是一個不斷進行堆調整的過程。在數組中，我們一般從第n/2個數開始做堆調整，一直到下標為0的數 (因為下標大于n/2的數，都是葉子節點，無子數，所以其子數已經滿足堆的性質了)。

堆調整只判斷節點子樹，進行該節點下沉操作，并不和父節點進行比較，

所以建堆時必須從后向前進行，首先保證子樹滿足特性，在一步步往上推。

ps: 數組下標從0開始，建堆節點應從下標 n/2 -1 開始

堆排序

堆排序是在建堆完成之后，進行的操作。

以最大堆為例，堆以數組形式進行存儲，所以A[0]是最大值，將A[0]與A[n-1]交換，然后對A[0_{n-2]進行堆調整。第二次將A[0]與A[n-2]進行交換，A[0}n-3]進行堆調整，重復這樣的操作直到A[0]與A[1]進行交換。 每次都將最大的數移入后面的區間，故操作完成之后，所得的數組就是從小到大有序排列的了。

堆排序圖解

 

 

復雜度

時間復雜度：

O(nlogn)* : 建堆過程為O(n), 堆調整過程為O(nlogn)

空間復雜度：

O(1) : 就地排序

代碼實現

<?php
$arr = [49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50];
sortHeap($arr);
function sortHeap(&$arr){
 $heap_size = count($arr) - 1;
 createHeap($arr, $heap_size );
 echo '建堆結果：'.implode(',', $arr)."rn";
 heApprint($arr, $heap_size);
 //堆排序
 $n = $heap_size;
 for($i=0; $i<=$n; $i++ ){
 swap($arr, 0, $heap_size); //最大值替換到最后面
 $heap_size--;
 adjustHeap($arr, $heap_size, 0); //A[0]替換為新的值，從該節點進行堆調整
 }
 echo '堆排序結果'.implode(',', $arr)."rn";
}
//建堆
function createHeap( &$arr, $heap_size){
 $n = floor($heap_size/2) -1;
 for($i=$n; $i>=0; $i-- ){ 
 // 從最后一個非葉子節點開始，下標遞減進行建堆。 
 // 保證節點的子樹滿足堆的性質，才能進一步對節點的父節點進行堆調整; 否則會有問題
 adjustHeap($arr, $heap_size, $i);
 }
}
//堆調整 - 最大堆特性
function adjustHeap( &$arr, $heap_size, $i){
 $left = 2*$i + 1; //左子節點
 $right = 2*$i + 2; //右子節點
 $largest = $i; //默認最大節點為當前節點
 while( $left < $heap_size || $right<$heap_size){
 if( $left < $heap_size && $arr[$left] > $arr[$largest] ){
 $largest = $left; //左子節點大于目前值最大節點
 }
 if( $right<$heap_size && $arr[$right] > $arr[$largest] ){
 $largest = $right; //右子節點大于最大節點
 }
 //子節點大于該節點，需要將該節點下沉，并對下沉后的節點進行子樹堆調整
 if($largest != $i){
 swap($arr, $largest, $i);
 $i = $largest;
 $left = 2*$i+1;
 $right = 2*$i+2;
 }else{
 // 該節點值是最大值時，結束調整。 
 // 因為：深層次的子樹在建堆時已經滿足堆性質，不需要再進行判斷
 break;
 }
 }
}
function swap(&$arr, $i, $j){
 $t = $arr[$i]; $arr[$i] = $arr[$j]; $arr[$j] = $t;
}
//堆打印
function heapPrint($arr, $heap_size){
 //判斷有多少行
 $rows = 1;
 while( pow(2, $rows-1) < $heap_size ){ $rows++;}
 //最后一行葉子節點的個數，最大個數
 $lastNumbers = pow(2, $rows-1);
 //輸出
 $row = 1;
 $num = pow(2, $row-1);
 for( $i=0; $i<$heap_size; $i++){
 $t = $lastNumbers/ ( pow(2, $row-1) +1 ); //空格平均分割。除以（數字個數+1）
 $t = ceil($t);
 for($j=0; $j<$t; $j++){ echo " " ; }
 echo $arr[$i];
 if( $i+1 == $num ){
 echo "rn";
 $row++;
 $num += pow(2, $row-1);
 }
 }
 echo "rn";
}

運行結果：

建堆結果：97,76,65,38,49,13,27,50
 97
 76 65
 38 49 13 27
堆排序結果: 13,27,38,49,50,65,76,97
[Finished in 0.2s]

三、歸并排序

歸并排序是 分治法(Divide and Conquer)的一個非常經典的應用。將大序列拆分成n個小序列，先使小序列有序，然后合并有序子序列，得到排序結果。

將兩個有序序列合并成一個序列的方法叫做2路歸并。

算法描述與分析：

遞歸方法實現：

1.Divide: 把長度為n的序列分成長度為 n/2的子序列；

2.Conquer: 對每個子序列采用歸并排序；

3.Combine：將排序好的兩個子序列合并成最終的排序序列。

 

歸并操作的工作原理如下：

第一步：申請空間，使其大小為兩個已經排序序列之和，該空間用來存放合并后的序列

第二步：設定兩個指針最初位置分別為兩個已經排序序列的起始位置

第三步：比較兩個指針所指向的元素，選擇相對小的元素放入到合并空間，并移動指針到下一位置

重復步驟3直到某一指針超出序列尾

將另一序列剩下的所有元素直接復制到合并序列尾。

復雜度：

時間復雜度：

O(nlogn): 將序列分成小序列需要logn步，每一步合并都需要對n個元素進行比較，時間復雜度為O(n)，故一共為 o(nlogn)

空間復雜度:

O(n)

代碼實現：

function mergeSort($arr){ 
 $len = count($arr);
 if($len<=1) return $arr;
 $mid = intval($len/2);
 $left = array_slice($arr, 0, $mid);
 $right = array_slice($arr, $mid);
 $a = mergeSort($left); //拆分排序子序列
 $b = mergeSort($right); //
 $arr = merge($a, $b); //合并，拆分幾次，就合并幾次
 return $arr;
}
//2路合并
function merge($arrA, $arrB){
 $arrC = [];
 while ( count($arrA)>0 && count($arrB)>0 ) {
 $arrC[] = ($arrA[0] < $arrB[0]) ? array_shift($arrA) : array_shift($arrB);
 }
 return array_merge($arrC, $arrA, $arrB);
}
$arr = [49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50];
$arr = mergeSort($arr);
echo implode(',', $arr);

輸出結果：13,27,38,49,50,65,76,97[Finished in 0.2s]

四、插入排序

簡介：

構建有序序列，對于未排序數據，在已排序序列從后向前掃描，找到合適的位置K并插入。 位置K之后的元素需要全部后移。

算法描述與分析：

1. 取第一個元素構建有序序列；
2. 取出下一個元素B，對有序序列從后向前掃描； 如果掃描到的元素大于B,則后移該元素；否則將B插入該元素后面；
3. 重復第2步，直到遍歷完所有數據。

 

復雜度：

時間：O(n^2)

空間：O(1)

代碼實現：

function insert_sort($arr){
 for( $i =1; $i<count($arr); $i++){
 $t = $arr[$i]; //待排元素
 for($j=$i-1; $j>=0; $j--){
 if( $arr[$j] > $t ){
 $arr[$j+1] = $arr[$j]; //大于待排元素，則后移
 }else{
 break;
 }
 }
 $arr[$j+1] = $t;
 }
 return $arr;
}

五、二分插入排序

原理同上。 只是在第二步尋找合適位置時，使用二分查找法，快速定位插入位置K；然后將K后的元素后移；在K位置插入待排值

復雜度：

同插入排序。

代碼實現：

function binary_insertion_sort($arr){
 $count = count($arr);
 for( $i=1; $i<$count; $i++){
 $tmp = $arr[$i];
 //查找需要替換的位置
 $left = 0;
 $right = $i-1;
 while( $left <= $right){
 $middle = intval( ($right+$left)/2 ); //向上加1
 if( $arr[$middle] > $tmp){
 $right = $middle-1;
 }else{
 $left = $middle+1;
 }
 }
 //位置后的元素后移
 for( $j; $j>=$left; $j--){
 $arr[$j+1] = $arr[$j];
 }
 $arr[$left] = $tmp;
 }
 echo implode(',', $arr)."rn";
}

六、選擇排序

從待排序列中選擇最小(大)的元素，放在序列的起始位置；然后在從剩下的序列中繼續選擇最小(大)的元素，放在已排序序列的隊尾。

 

復雜度：

時間：O(n^2)

空間：O(1)

七、冒泡排序

兩層循環，外層循環次數=元素個數；

內層循環挨個比較，當 A[j] 大于 A[j+1]時交換兩個值；

當內循環結束時，最多有n-1次交換，會將最大值置于尾部；

當一次外循環無元素交換時，說明序列已有序，可提前結束外層循環。

復雜度

時間： o(n^2)； 最優是已排序列進過一層循環發現無元素交換，直接退出程序，復雜度O(n)。

空間：O(1)

八、雞尾酒排序

冒泡排序的變種，不同的地方在于從低到高后從高到低。一次層循環內完成一大一小兩個元素的冒泡。

 

function cocktail_sort($arr){
 $i=1;
 $start =0;
 $len = count($arr)-1;
 $end = 0;
 while($i>0){ //有交換元素時繼續執行
 $i=0;
 for($j=$start; $j<$len-$end; $j++){
 if( $arr[$j] > $arr[$j+1]){
 $t = $arr[$j];
 $arr[$j] = $arr[$j+1];
 $arr[$j+1] = $t;
 $i=1;
 }
 }
 //逆向冒泡來一次
 for($j=$len-$end; $j>$start; $j--){
 if( $arr[$j] < $arr[$j-1]){
 $t = $arr[$j];
 $arr[$j] = $arr[$j-1];
 $arr[$j-1] = $t;
 $i=1;
 }
 }
 $end++; //通過冒泡，尾部有序序列個數加一
 $start++; //頭部有序序列個數加一
 }
}

九、桶排序

將數組分別放到有限數量的桶中。每個桶在進行獨立的排序。 分桶要求桶中的最大數據小于下一個桶的最小數據。

復雜度

時間：

空間： O(N+M)

---

十、計數排序

1.找出待排序列的最大值和最小值；使用數組C來標識 C[min] - c[max]；

2.統計數組中每個值出現的次數，存入C[i]中；

3.反向填充目標數組：順序遍歷這個數組C，將下標解釋成數據， 將該位置的值表示該數據的重復數量，得到排序好的數組。

注：

1. 當輸入的元素是n 個0到k之間的整數時，它的運行時間是 O(n + k)。計數排序不是比較排序，排序的速度快于任何比較排序算法。
2. 只能對整數進行排序。

復雜度

時間：O(n)

空間：最大O(2n)

---

十一、基數排序

將整數按位數切割成不同的數字，然后按每個位數分別比較。

---

十二、位圖排序

要求數據不重復，用bit位進行位圖排序，能節省空間。

譬如： 每個學生答題一次，將已答題的學號記錄在文件中。學號只出現一次，且學號連續。輸入一個學號，查看是否答題。

解決： 將學號進行排序，在查找時使用二分查找。 因為學號不重復，所以可使用位圖排序。

復雜度

位圖排序不是比較排序，時間復雜度為 O(n)