肉眼凡胎的普通人如何才能接近理念世界？柏拉圖的答案是：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
當(dāng)然，數(shù)學(xué)的世界本身也還不是理念世界，因?yàn)閿?shù)學(xué)的對(duì)象還是肉眼可以看到的，比如幾何圖形、天穹星象……但通過(guò)演練數(shù)學(xué)，你可以被引向理念世界。傳說(shuō)柏拉圖學(xué)院門口有個(gè)牌子，寫著"不懂幾何者不得入內(nèi)"。
《柏拉圖的學(xué)院》馬賽克鑲嵌畫-來(lái)自龐貝的西米紐斯斯蒂芬斯別墅(圖自維基)
為什么數(shù)學(xué)可以達(dá)成這樣的目標(biāo)？原因有二：
其一，數(shù)學(xué)知識(shí)最接近理念知識(shí)所應(yīng)有的純粹性。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象似乎是可以見(jiàn)到的，但又仿佛不在現(xiàn)實(shí)生活中。比如，自然數(shù)字 1、2、3，似乎可以在現(xiàn)實(shí)中看到一支筆，兩張紙，三個(gè)人，可是細(xì)想一想，那個(gè)單純的 1、2、3，似乎又不是我們能夠看到的。三角形固然可以畫出來(lái)，因而被我們看到，可是畫出來(lái)的三角形并不是嚴(yán)格的幾何三角形。嚴(yán)格的幾何對(duì)象，點(diǎn)是沒(méi)有大小的，線是沒(méi)有粗細(xì)的，面是沒(méi)有厚度的，所以，任何畫出來(lái)的三角形都不是嚴(yán)格的幾何三角形。實(shí)際上，畫出來(lái)的三角形總是一個(gè)特定的三角形，有特定的角度和邊長(zhǎng)，可是幾何學(xué)要討論的經(jīng)常是任意三角形，而任意三角形是畫不出來(lái)的。因此，在幾何證明時(shí)，不能依賴畫出來(lái)的圖形，而要靠思維的力量超脫圖形的無(wú)形約束。你要不斷地透過(guò)現(xiàn)實(shí)的尺規(guī)作出來(lái)的圖，看到?jīng)]有大小的點(diǎn)，沒(méi)有粗細(xì)的線，沒(méi)有厚薄的面。「所以我們說(shuō)，數(shù)學(xué)具有一種不可思議的功能，它能夠幫助你由此及彼，由現(xiàn)實(shí)進(jìn)入超越世界。學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)準(zhǔn)備性訓(xùn)練。學(xué)完數(shù)學(xué)的人，才能夠滿懷信心地真正去學(xué)習(xí)純粹的理念知識(shí)。」
柏拉圖強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)知識(shí)的超越性，也強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)對(duì)象的超越性。他反對(duì)過(guò)多地使用畫圖工具，認(rèn)為那樣一來(lái)就會(huì)損壞幾何學(xué)的純粹性，因此做出了只許使用直尺和圓規(guī)作圖的限定。
其二，數(shù)學(xué)是蘇格拉底所推崇的確定性知識(shí)的典范。數(shù)學(xué)知識(shí)都是說(shuō)一不二的，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)。咱們考數(shù)學(xué)，有考一百分的，也有考五分的，那語(yǔ)文就不容易考一百分，也不容易考五分，因?yàn)檎Z(yǔ)文沒(méi)有那么說(shuō)一不二。
數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性，一定給柏拉圖留下深刻印象，所以他一直鼓勵(lì)他學(xué)院里面的人都要好好研究數(shù)學(xué)。根據(jù)目前留傳下來(lái)的歷史資料，柏拉圖本人似乎沒(méi)有做過(guò)什么數(shù)學(xué)研究，不是個(gè)數(shù)學(xué)家，但他的確是一位數(shù)學(xué)哲學(xué)家。他重視數(shù)學(xué)、推崇數(shù)學(xué)，引導(dǎo)他的學(xué)生們致力于數(shù)學(xué)研究。
柏拉圖學(xué)院里面數(shù)學(xué)家特別多，有名有姓的，就有十多個(gè)人。這里，我們只簡(jiǎn)單提一下三個(gè)最有名的：
第一個(gè)人叫「泰阿泰德」，據(jù)說(shuō)他發(fā)現(xiàn)了第五種正多面體。在此之前，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了四種正多面體，而泰阿泰德發(fā)現(xiàn)了第五種。據(jù)說(shuō)泰阿泰德還證明了，正多面體有且只有五種，這個(gè)后面我們會(huì)細(xì)說(shuō)。
第二個(gè)是「歐多克斯」，他是希臘數(shù)理天文學(xué)的創(chuàng)始人。他的數(shù)學(xué)非常厲害。在希臘，天文學(xué)屬于數(shù)學(xué)學(xué)科，是應(yīng)用性的球面幾何學(xué)。他的開(kāi)創(chuàng)性工作，我們將在第 6 章專門講述。
歐幾里得, 公元前325年－前265年
第三個(gè)人物是「歐幾里得」，《幾何原本》的作者。關(guān)于他的生平?jīng)]有太多記載，只知道他大約活躍于公元前 300 年左右。由于年深歲久，歐幾里得的生平事跡都失傳了。后世史學(xué)家只知道他的鼎盛年大概是公元前 300 年。如果這一年他 40 歲正當(dāng)盛年的話，那么他應(yīng)該是大約出生于公元前 340 年，柏拉圖那時(shí)已經(jīng)去世了。可以肯定的是，他曾經(jīng)在柏拉圖學(xué)園學(xué)習(xí)過(guò)。當(dāng)然，他沒(méi)有見(jiàn)過(guò)柏拉圖。由于他的一生正處在希臘古典文明末期和希臘化文明的早期，他的《幾何原本》作為希臘古典幾何學(xué)的集大成，應(yīng)該是在希臘化時(shí)期的科學(xué)中心、托勒密埃及的首都亞歷山大城寫成的。他的工作，我們?cè)谝院笾v希臘化科學(xué)的時(shí)候再詳細(xì)說(shuō)。
五個(gè)正多面體
我們這里簡(jiǎn)單講一講五個(gè)正多面體的故事，那是一部人類科學(xué)思想史上極為浪漫、極為動(dòng)人的一個(gè)故事。這個(gè)故事也反映出了柏拉圖主義對(duì)于整個(gè)西方科學(xué)史的巨大而持久的影響。
什么叫正多面體，正多面體的意思就是，每個(gè)面是完全相同的正多邊形，而正多邊形每條邊都相同。正多邊形可以有正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形……這么多正多邊形要組成一個(gè)立體的話，可以構(gòu)成幾個(gè)？柏拉圖學(xué)派證明了有且只有五個(gè)。
我們可以做一個(gè)不太嚴(yán)格的證明。要構(gòu)成一個(gè)立體角，就要求構(gòu)成這些立體角的各個(gè)面的角度加起來(lái)必須小于 360 度，等于都不行。正多邊形邊越多，內(nèi)角就越大，正三角形的內(nèi)角度是 60 度，正四邊形是 90 度，正五邊形 108 度，正六邊形是 120 度。構(gòu)成一個(gè)立體角至少需要三條棱，如果是 120 度的話，乘以 3 就 360 度了，所以，正六邊形就不能構(gòu)成一個(gè)立體角。換而言之，正多面體只能由正三角形、正四邊形和正五邊形這三種正多邊形構(gòu)成。
如果用正三角形的話，每個(gè)角 60 度，可以有 3 條棱、4 條棱、5 條棱三種可能，分別可以構(gòu)成正四面體、正八面體和正二十面體。6 條棱就不行了。正四邊形每個(gè)角 90 度，只有 3 條棱一種可能性，可以構(gòu)成正方體。正五邊形每個(gè)角 108 度，只有 3 條棱一種可能性，可以構(gòu)成正十二面體。所有可能的結(jié)果加起來(lái)就是，正多面體有且只有五個(gè)。
柏拉圖學(xué)派認(rèn)為，正多面體是多面體中最美妙的，因?yàn)樗拿織l邊一樣長(zhǎng)，每個(gè)面一樣大，可是，它居然就只有五個(gè)。這是為什么呢？這中間有什么奧妙可言嗎？
對(duì)數(shù)字非常敏感的畢達(dá)哥拉斯主義學(xué)派來(lái)說(shuō)，這個(gè)數(shù)字五就必然很有說(shuō)道。「怎么就這么巧，正多面體有且只有五個(gè)呢？」
哥白尼體系提出來(lái)以后，太陽(yáng)成了宇宙的中心，圍繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)的行星成了六個(gè)，分別是水星、 金星、地球、火星、木星、土星。「開(kāi)普勒」是當(dāng)時(shí)著名的哥白尼主義者，也是個(gè)狂熱的畢達(dá)哥拉斯主義者。于是他就琢磨，行星有六個(gè)，正多面體有五個(gè)，要說(shuō)它們之間毫無(wú)聯(lián)系怎么可能呢？
開(kāi)普勒在《宇宙的神秘》中關(guān)于太陽(yáng)系的柏拉圖式實(shí)體模型（1596年）, 圖自維基
于是，他就拼命地去琢磨這六個(gè)行星的軌道。琢磨來(lái)琢磨去，終于有一天他琢磨出來(lái)了。通過(guò)五個(gè)正多面體，進(jìn)行內(nèi)切和外接的嵌套，可以產(chǎn)生六個(gè)球，這些球的大小正好符合六個(gè)行星的軌道尺寸。
他想出來(lái)以后，特別興奮，有一種發(fā)現(xiàn)了世界秘密的感覺(jué)，于是寫了一本書，叫《宇宙的奧秘》。那本書問(wèn)世以后，被另外一個(gè)天文學(xué)家第谷看到了。第谷發(fā)現(xiàn)，這個(gè)人的數(shù)學(xué)功底真不錯(cuò)，就決定收他為徒。
第谷本人不是數(shù)學(xué)家，但是他有很多重大天文發(fā)現(xiàn)和系統(tǒng)而精確的天文記錄，特別是，他有非常完整的火星位置數(shù)據(jù)。開(kāi)普勒繼承了第谷的數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上最終發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)的三定律。開(kāi)普勒三定律直接導(dǎo)向了牛頓的萬(wàn)有引力定律，是天文學(xué)史上一個(gè)非常偉大的發(fā)現(xiàn)。可是，指導(dǎo)他做出偉大發(fā)現(xiàn)的動(dòng)機(jī)，竟然是柏拉圖學(xué)派最早發(fā)現(xiàn)的五個(gè)正多面體。
